משפט הקוסינוסיםטריגונומטריה 571 · שיעור 17
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
פרק 2 – משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים ושטח משולש
1נוסח השאלה
2הסבר ודוגמה – מתי משתמשים במשפט
3תרגיל 1 – הצלע x
4תרגיל 2 – הזווית ∢K
📄 נוסח השאלה
דוגמה. במשולש ABC נתון: AB = 8 , AC = 5 , ∢A = 60. מצאו את BC.
תרגיל 1. במשולש שבסרטוט שתי צלעות הן 18 ו־20 , והזווית שביניהן 75 מעלות. מצאו את הצלע השלישית x.
תרגיל 2. צלעות המשולש שבסרטוט הן 3.5 , 4 , 5. מצאו את הזווית ∢K שמול הצלע 5.
הסבר ודוגמה – מתי משתמשים במשפט
משפט הקוסינוסים מקשר בין שלוש הצלעות של משולש ואחת מזוויותיו. משתמשים בו בשני מצבים:
1. ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן ← מוצאים את הצלע השלישית.
2. ידועות שלוש צלעות ← מוצאים זווית.
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
📐 משפט הקוסינוסים
כאשר ∢C = 90 מקבלים cos 90 = 0 , ומשפט הקוסינוסים הופך למשפט פיתגורס.
בדוגמה: ידועות שתי צלעות AB = 8 , AC = 5 והזווית שביניהן ∢A = 60. הצלע BC מול ∢A:
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
הסבר ודוגמה – מתי משתמשים במשפט · המשך
בדוגמה: ידועות שתי צלעות AB = 8 , AC = 5 והזווית שביניהן ∢A = 60. הצלע BC מול ∢A:
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos∢A
📐 משפט הקוסינוסים
נציב AB = 8 , AC = 5 , ∢A = 60:
BC2 = 82 + 52 − 2 · 8 · 5 · cos 60
BC2 = 64 + 25 − 40 = 49
BC = 7
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
הסבר ודוגמה – מתי משתמשים במשפט · המשך
BC = 7
✅ פתרון סופי: BC = 7
תרגיל 1 – הצלע x
ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, ו־x הצלע שמול הזווית 75:
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
📐 משפט הקוסינוסים
נציב c = x , a = 18 , b = 20 , ∢C = 75:
x2 = 182 + 202 − 2 · 18 · 20 · cos 75
x2 = 324 + 400 − 720 · cos 75
x2 ≈ 724 − 186.35 = 537.65
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
תרגיל 1 – הצלע x · המשך
x2 ≈ 724 − 186.35 = 537.65
x = √537.65 ≈ 23.19
במחשבון: √ ( 324 + 400 − 720 cos 75 ) =.
✅ פתרון סופי: x ≈ 23.19
תרגיל 2 – הזווית ∢K
ידועות שלוש הצלעות. הזווית ∢K מול הצלע 5 , ולכן 5 בצד שמאל של המשפט:
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
📐 משפט הקוסינוסים
נציב c = 5 , a = 3.5 , b = 4 , והזווית ∢K:
52 = 3.52 + 42 − 2 · 3.5 · 4 · cos∢K
25 = 12.25 + 16 − 28 cos∢K
25 = 28.25 − 28 cos∢K
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
תרגיל 2 – הזווית ∢K · המשך
25 = 28.25 − 28 cos∢K
28 cos∢K = 28.25 − 25 = 3.25
cos∢K = 3.2528 ≈ 0.1161
∢K ≈ 83.33
במחשבון: SHIFT cos ( 3.25 ÷ 28 ) =.
✅ פתרון סופי: ∢K ≈ 83.33
📌 סיכום התשובות
דוגמה
BC = 7
תרגיל 1
x ≈ 23.19
תרגיל 2
∢K ≈ 83.33
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא